Здравствуйте!
По истечении 3 месяцев будет вынесено решение - брак расторгнуть. Данное решение еще должно вступить в законную силу. В данном случае Вы можете затянуть только момент вступления в законную силу решение суда. До судебного заседания Вы можете известить судью, что Вы не можете присутствовать в судебном заседании и просите перенести судебное заседание, представив доказательства уважительности. Больничный лист не думаю, что подойдет в этом случае. Вот если бы Вы лежали в больнице или на дневном стационаре, то подошло бы. А так по сути Вы дома и ничто Вам не мешает посетить судебный процесс.
Апелляционная жалоба подается в течение месяца с момента получения решения суда. Например, 11 мая вынесено решение суда и Вы получили резолютивную часть. Однако для подачи апелляционной жалобы Вам потребуется мотивировочная часть. Тут со сроками Вам поможет ч. 4 ст. 199 Гражданского процессуального кодекса РФ: Мировой судья обязан составить мотивированное решение суда по рассмотренному им делу в случае поступления от лиц, участвующих в деле, их представителей заявления о составлении мотивированного решения суда, которое может быть подано:
1) в течение трех дней со дня объявления резолютивной части решения суда, если лица, участвующие в деле, их представители присутствовали в судебном заседании;
2) в течение пятнадцати дней со дня объявления резолютивной части решения суда, если лица, участвующие в деле, их представители не присутствовали в судебном заседании.
С момента получения мотивированного решения суда пошел отсчет. Последним днем подачи апелляционной жалобы будет день, кода Вы получили мотивированное решение суда. Например, решение получено 26 мая, значит, последний день подачи апелляционной жалобы - 26 июня. Если Вы хотите затянуть процесс - то конечно лучше отправить 26 июня по почте. Апелляционная жалоба подается через того же мирового судью, у которого было принято решение суда первой инстанции. Но в вышестоящий суд. В апелляционной жалобе Вы не можете попросить срок на примирение, только обжаловать решение суда первой инстанции в рамках тех доказательств, которые были представлены в суд первой инстанции. Новые доказательства могут быть приобщены только в том случае, если Вы сможете доказать, что не смогли представить их в суд первой инстанции.
Добавлю, что апелляционная инстанция в 90 % случаев оставляет решение суда первой инстанции в силе. Тем самым,Вы просто затянете срок вступления решения суда в законную силу, но само решение не измените.