Здравствуйте!
1. Да, иск об определении порядка общения с ребенком можете подать в любое время. Даже если Вы не укажете орган опеки и попечительства в качестве третьего лица, суд сам привлечет опеку. В таких делах их присутствие обязательно. Если полагаете,что органы опеки и попечительства смогут повлиять на Вашу бывшую супругу, то можно сначала через них действовать, а потом только в суд идти. Вообще в законе не расписан такой порядок - сначала органы опеки, а потом в суд. Поэтому здесь Вам лучше знать как действовать изначально.
2. Да, если у Вас нет официального дохода, то 1/4 исчисляется исходя из средней заработной платы по РОССИИ (не по региону). И верно, смотреть эти данные можно на сайте росстата. По большому счету роли важно в данной категории дел это играть не будет. Но в целом лишним не будет. Как полная картина того, что Вы отец, который исполняет свои обязанности и желает пользоваться при этом своими правами.
3. Здесь даже примерно сложно сказать. Но ориентироваться нужно примерно от 2 месяцев. Подача иска, назначение судебного заседания, выход опеки в Ваш адрес и адрес ответчика, возможная неявка ответчика, перенос судебного заседания, ответчик может заявить различные ходатайства, суд может запросить дополнительные сведения. В общем, до вынесения решения все может кардинально измениться и срок может как уменьшиться, так и увеличиться. Даже примерный прогноз дать затруднительно.
4. Да, пока у Вас не установлен график общения с ребенком, Вы имеете такое же право как и мать ребенка прийти в детский сад, задрать ребенка из него, прогуляться, побыть вместе. Даже если мать ребенка обратится в полицию с заявлением на Вас о похищении ребенка (а так делают), то полиция разъяснит, что оснований нет. График не установлен, нарушения нет.
5. Выписку из больницы да, можете взять. Опять же это будет доказательством того, что Вы как отец не уклонялись от таких тяжелых ситуаций. Но о привязанности это не свидетельствует. О привязанности будет свидетельствовать только заключение психолога. Если считаете нужным, то заявите о проведении психологической экспертизы.